Home / tính chất đường trung tuyến trong tam giác cânTính Chất Đường Trung Tuyến Trong Tam Giác Cân01/11/2021Trong chương trình toán 7 môn hình học, các bạn đã được học về đường trung tuyến và các tính chất, định lý của đường trung tuyến trong tam giác. Kiến thức này được củng cố lại ở lớp 10. Tuy nhiên, nhiều bạn đang bị lẫn lộn giữa khái niệm đường trung tuyến và đường trung trực. Vậy đường trung tuyến là gì? Hãy đọc bài viết dưới đây để có câu trả lời đầy đủ nhất về đường trung tuyến.Bạn đang xem: Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cânĐường trung tuyến là gì?Đường trung tuyến của đoạn thẳngĐường trung tuyến của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đóĐường trung tuyến của tam giácĐường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác, đầu kia là trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đó.Mỗi tam giác bất kỳ đều có 3 đường trung tuyến.3 đường trung tuyến của tam giácTam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC thì AD là một đường trung tuyến của tam giác ABC. Như vậy, nếu D,E,F lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC,AC,AB. Thì AD,CE,BF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC.Công thức, tính chất của đường trung tuyến trong tam giácTính chất đường trung tuyến trong tam giác thườngBa đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng 1/3 đường trung tuyến tương ứng với điểm đó.Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuôngABC vuông có AD là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC=> AD = 1/2BC = DB = DCNgược lại, nếu trung tuyến AM = 1/2BC thì ABC vuông tại ATính chất:Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến tam giác.Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cânĐường trung tuyến trong tam giác cânABC cân tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh BC=> AD ⊥ BC và ΔADB = ΔADCTính chất:Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đềuĐường trung tuyến trong tam giác đềuΔABC đều => ΔGAE = ΔGAF = ΔGCF = ΔGCD = ΔGBD = ΔGBE = ΔGEB = ΔGEASADB = SADC = SCEA = SCEB = SBFA = SBFCTính chất:3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.Công thức độ dài của đường trung tuyếnĐộ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính bằng định lý Apollonnius:Công thức tính độ dài đường trung tuyếnVới ma là trung tuyến ứng với cạnh a trong tam giácmb là trung tuyến ứng với cạnh b trong tam giácmc là trung tuyến ứng với cạnh c trong tam giácTrong đó:a, b, c: là các cạnh của tam giác.ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.Xem thêm: Cách Dùng Bộ Kích Sóng Wifi Mercury, Hướng Dẫn Cách Sử Dụng Bộ Kích Sóng Wifi Tenda A9Các dạng bài tập về đường trung tuyến thường gặpDạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳngPhương pháp:Chú ý đến vị trí trọng tâm của tam giácVới G là trọng tâm của tam giác ABC và AB, BE, CF là 3 đường trung tuyến, ta cóAG = 2/3AD; BG = 2/3BE; CG = 2/3CFDạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt ( tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều)Phương pháp:Trong tam giác cân (hoặc tam giác đều), trung tuyến ứng với cạnh đáy và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.Bài tập ví dụ về đường trung tuyến trong tam giácBài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.a) Chứng minh: AM ⊥ BC;b) Tính độ dài AM.Lời giải:a. Ta có AM là đường trung tuyến ABC nên MB = MCMặt khác ABC cân tại A=> AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường caoVậy AM ⊥ BCb. Ta cóBC = 16cm nên BM = MC = 8cmAB = AC = 17cmXét tam giác AMC vuông tại MÁp dụng Định lý Pitago có:AC2 = AM2 + MC2 => 172= AM2 + 82 => AM2 = 172- 82= 225 =>AM= 15Cm.Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.Bài giải: Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, ACTa có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên AG= 2/3AD (1)CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên CG= 2/3CE(2)BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên BG= 2/3BF(3)Ta có ΔBAC đều =>AD = BF = CE (4)Từ (1), (2), (3), (4) suy ra AG = BG = CGBài 3: Cho tam giác ABC. D thuộc tia đối của tia AB sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE =1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :a) M là trung điểm của CDb) AM = 12BC.Bài giải: Ta có hình vẽ:a, Xét: ΔBDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCDMặt khác:AE = 1/3AC => CE = 2/3AC.=> E là trọng tâm Δ BCDM là giao của BE và CDVậy BM là trung tuyến Δ BCDVậy M là trung điểm của CDb, A là trung điểm của BDM là trung điểm của DC=> AM là đường trung bình của Δ BDC=> AM = 1/2BCBài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm, trọng tâm G. Tính tổng khoảng cách từ điểm G đến các đỉnh của tam giác.Bài giải: ta có hình vẽ:Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABCDễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cmTa có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta cóBC2= AB2+ AC2=> BC2= 182+ 242= 900=> BC= 30Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cmSuy ra AG = 2/3AD = 10cmXét Δ AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:EC2= AE2+ AC2=> EC2= 92+ 242= 657=> EC= 3√73cm=>CG = 2/3EC= 2√73cmTương tự, xét AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:BF2= AB2+ AF2=> BF2= 182+ 122= 468=> BF= 6√13cm=>BG = 2/3BF= 4√13cmTổng khoảng cách từ trọng tâm G đến các đỉnh của tam giác là:AG+BG+CG= 10+ 4√13+ 2√73 cmBài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.a, So sánh tam giác AHB và tam giác AHCb, Gọi Kvà I lần lượt là trung điểm của GC và GA. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quyBài giải: Ta có hình vẽ:
